Сохраню здесь, чтобы больше не искать. Для того, чтобы форма обратной связи выводилась на страницах сайта, необходимо добавить данный код в шаблон страницы:

<? global $wpcf7_contact_form;
if ( ! ( $wpcf7_contact_form = wpcf7_contact_form( 123 ) ) )
return 'Contact form not found!';
$form = $wpcf7_contact_form->form_html();
echo $form; ?>

Нужно только вместо цифры 123 прописать id нужной вам формы.